什么是形数?
还要从毕达哥拉斯说起。
毕达哥拉斯用等距离的小石头摆成等边三角形或者正方形,或者五边形、六边形之类的形状,将所用小石头的数目,分别叫做三角形数、正方形数、五边形数。
三角形数:1,3,6,10……就是开始的n个自然数和;
正方形数:1,4,9,16……就是平方数;
然后还有五边形数、六边形数等等。
不要觉得这很简单没多少难度,形数的奥妙多到你想象不到!
说一个简单的,我们研究的勾股定理,其实就是正方形数的一个特例。其等价于,两个小正方形,什么情况下能摆成一个大正方形。
勾股定理假如对幂次进行拓展,a^n+b^n=c^n,就是费马猜想,当然现在是费马大定理了;
如果对项数拓展,有四平方和定理:任何一个整数,表示成a^2+b^2+c^2+d^2……这样的形式,最多需要四项吗?
这完全是形数领域了,最后由欧拉和拉格朗日给出了证明。
但继续拓展就到华林问题了,平方数需要四项,立方数需要几项?5次方呢?6次方呢?这是至今都尚未解决的大坑。
不仅如此,费马在形数领域还挖了另一个坑,叫做多边形数猜想。
该猜想由数学小王子高斯拔得头筹,柯西完成了最终的证明,前后历时两百多年。
虽然证明了,继续拓展就会到完美立方体问题,这又是一个至今尚不能证明或证否的大坑……
所以甘大地虽然才提了个头,叶寒已隐隐感觉不妙。
不是问题他答不出来,当然答不出来的可能性也是有的,但就算答得出来,他的答案丢给对方,对方能够理解的概率也近乎于零。
果不其然,甘大地先抛出了两个比较简单的问题投石问路,如果知道相邻的三角形数之和是正方形数,或者第n个立方数是第n个三角形数的平方,就可以很轻松的给出答案。
然后他就图穷匕见了!
先给了几个例子,比如4=3+1;5=3+1+1;7=6+1;8=6+1+1;9=6+3;14=10+3+1;20=10+10……
然后问叶寒,是不是所有数,都能用最多三个三角形数表示?
是的。
三角形数就可以三个数表示,正方形数就得四个数表示,多少边形数,就可以用多少个数表示,这就是多边形数猜想。费马“地方太小写不下”的著名猜想之一。
上面只是n=3的情况。
但就算n=3也不是那么好证的,想当初数学小王子证出后都兴奋到大叫尤里卡。叶寒不觉得自己把证明抄出来,上面的家伙就一定能看懂。
稍一斟酌他开口道:“我不仅知道所有正整数都可以用三个三角形数表示,还知道可以用四个正方形数表示,
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